利用预言机查询在有限度量空间中精确恢复聚类

我们研究了利用预言机查询进行精确聚类恢复的问题。先前结果表明,在欧几里得空间中,凸且具间隔分离的聚类仅使用$O(\log n)$个同簇查询即可精确重构,其中$n$为输入点数量。本文中,我们在更具挑战性的非凸设定下研究该问题。我们引入了一种称为$(\beta,\gamma)$-凸性的聚类结构刻画,可应用于任意配备度量(甚至半度量,因无需三角不等式)的有限点集。利用$(\beta,\gamma)$-凸性,我们可将聚类的自然密度性质(例如包含在$\mathbb{R}^d$中强非凸的聚类)转化为图论意义上的凸性。通过利用该凸性概念,我们设计了一种确定性算法,使用$O(k^2 \log n + k^2 (6/\beta\gamma)^{dens(X)})$个同簇查询恢复$(\beta,\gamma)$-凸聚类,其中$k$为聚类数,$dens(X)$为半度量的密度维数。我们证明了关于密度维数的指数依赖是必要的,并且还表明若允许向“聚类分离”预言机额外进行$O(k^2 + k\log n)$次查询,则即使各聚类尺度未知,也能恢复具有不同且任意尺度的聚类。