一般图上正交同步低维松弛的良性景观

正交群同步是在给定一些相对测量 $R_{ij} \approx Z_i^{}Z_j^{-1}$ 的情况下，从 $r \times r$ 正交群估计 $n$ 个元素 $Z_1, \ldots, Z_n$ 的问题。最小二乘公式是非凸的。为避免其局部极小，Shor 型凸松弛将优化问题的维度从 $O(n)$ 平方到 $O(n^2)$。作为替代，Burer--Monteiro 型非凸松弛在维度 $O(n^{3/2})$ 下具有通用的景观保证。对于更小的松弛，问题结构变得重要。在机器人文献中已观察到，对于 SLAM 问题，似乎只需将维度较原始增加一个小常数倍即可。我们部分地解释了这一现象。这对 Kuramoto 振子也有启示。具体地，我们依据估计量 $Y_1, \ldots, Y_n$ 最小化最小二乘代价函数。对于 $p \geq r$，每个 $Y_i$ 被松弛到具有正交行的 $r \times p$ 矩阵组成的 Stiefel 流形 $\mathrm{St}(r, p)$。可用测量隐式定义了 $n$ 个顶点上的（连通）图 $G$。在无噪情况下，我们证明对所有连通图 $G$，只要 $p \geq r+2$，二阶临界点就是全局最优的。（这意味着 $\mathrm{St}(r, p)$ 上的 Kuramoto 振子对所有 $p \geq r + 2$ 同步。）该结果是一般图的最佳可能；先前已知最佳结果要求 $2p \geq 3(r + 1)$。对于 $p > r + 2$，我们的结果对适量噪声（取决于 $p$ 和 $G$）是鲁棒的。我们的证明使用一种新颖的随机切向方向选择来证明二阶临界点的（近）最优性。最后，我们将无噪景观结果部分推广到复情形（酉群）；我们证明当 $2p \geq 3r$ 时不存在伪局部极小。