同步网络图景：来自非凸优化的视角

研究非凸代价函数的图景是更好理解信号处理、统计与机器学习中广泛使用的优化算法的关键。同时，著名的Kuramoto模型一直是研究各种网络拓扑上耦合振子同步现象的重要数学模型。在本文中，我们通过考察与底层网络相关的非线性函数$E(\boldsymbol{\theta}) = \frac{1}{2}\sum_{1\leq i,j\leq n} a_{ij}(1-\cos(\theta_i - \theta_j))$的优化图景，并探索局部极小值的存在性与网络拓扑之间的关系，将这两个看似无关的对象联系在一起。该函数在应用于$\mathbb{Z}_2$同步以及环面上的矩阵补全的Burer-Monteiro方法中自然出现。此外，它对应于复杂网络上耦合振子的齐次Kuramoto模型的能量函数。我们利用优化与随机矩阵理论工具证明了在确定性稠密图与Erd\H{o}s-R\'enyi随机图下，能量函数的极小值是唯一的（至多差一个全局平移）。因此，相应齐次Kuramoto模型的稳定平衡是唯一的，且这些耦合振子的同步态的吸引域为整个相空间除去一个零测集。此外，我们的结果说明了Burer-Monteiro方法何时能从高度不完整的观测中精确恢复$\mathbb{Z}_2$同步中的真实值，并揭示了非凸优化算法针对某些类型所谓单调对手的鲁棒性。我们进行了数值模拟以说明我们的结果。