图骨架诱导的同步景观的良性非凸性

我们研究图上的齐次 Kuramoto 模型及其底层优化景观 $\min_{\boldsymbol \theta \in \mathbb R^n}-\sum_{1\leq i,j\leq n} A_{ij}\cos(\theta_i-\theta_j)$ 的几何结构。该问题具有双重解释。一方面，它可以被视为一个无约束优化问题，旨在寻找单位圆上使能量函数最小化的点构型。另一方面，同一函数可作为支配齐次 Kuramoto 模型动力学的 Lyapunov 势函数。一个核心问题是识别哪些图能诱导良性能量景观，即每个二阶驻点均为对应于完全同步状态的全局最小化点。在这种情况下，称该图是全局同步的。现有的大多数结果利用完全图是全局同步的这一事实，并通过证明与之充分接近的图继承该性质来建立全局同步。相反，我们揭示了一种根本不同的机制：在高度结构化的图类，即准阈值图上，全局同步通过沿其底层骨架传播的局部同步顺序过程展开。我们的方法依赖于对非凸能量景观二阶驻点处相量几何的详细分析。