高斯加权随机块模型与植入稠密子图中的精确恢复：统计与算法阈值

在本文中，我们研究了具有两个对称社区的高斯加权随机块模型（Stochastic block model）中的精确恢复问题。我们根据模型的信噪比（SNR）提供了信息论阈值，并证明当 SNR $<1$ 时，没有任何统计估计器能以远离零的概率精确恢复社区结构。另一方面，我们表明当 SNR $>1$ 时，最大似然估计器本身能以趋近于 1 的概率成功精确恢复社区结构。接着，我们提供了两种实现精确恢复的算法。最大似然估计器的半定松弛（Semi-definite relaxation）以及谱松弛可以将社区结构恢复至阈值 1，从而确立了该模型不存在信息 - 计算间隙。随后，我们将社区检测问题与恢复图中植入的稠密加权社区问题进行比较，并证明精确恢复两个对称社区是一个严格比恢复大小为总节点数一半的植入稠密子图更容易的问题；我们确立了当相同 SNR $< 3/2$ 时，没有任何统计估计器能以远离零的概率精确恢复植入社区。更确切地说，当 $1 <$ SNR $< 3/2$ 时，社区检测的精确恢复在统计上和算法上都是可能的，但在高斯加权模型中，即使从统计上讲，也不可能精确恢复植入社区。最后，我们表明当 SNR $>2$ 时，最大似然估计器本身能以趋近于 1 的概率成功精确恢复植入社区。我们还证明了最大似然估计器的半定松弛可以将植入社区结构恢复至阈值 2。