k-部图模型中社区检测的精确恢复

我们研究图上的顶点分类问题，该图的顶点位于 $k\ (k\geq 2)$ 个不同的社区中，边仅允许在不同社区之间出现，且不同社区中的顶点数不一定相等。观测值是一个加权邻接矩阵，受到高斯正交系综（GOE）或高斯酉系综（GUE）矩阵的标量倍数扰动。针对具有各种加权邻接矩阵的最大似然估计（MLE）的精确恢复，我们证明了高斯扰动强度 $\sigma$ 的尖锐阈值。这些加权邻接矩阵可被视为电网的自然模型。令人惊讶的是，这些 $\sigma$ 的阈值不依赖于 MLE 的样本空间是否限制为每组顶点数等于真实值的此类分类。与 $\ZZ_2$-同步不同，我们设计了一种新的半定规划（SDP）的复版本，以在社区数 $k$ 大于 2 时高效实现社区检测问题，并获得了使得 SDP 精确恢复真实分类的 $\sigma$ 的一个公共区域（与 $k$ 无关）。