相依高斯混合模型中社区检测的确切恢复

我们研究了在具有相依且异质高斯噪声的高斯混合模型中进行社区检测的确切恢复问题。噪声协方差矩阵 $\Sigma$ 可以是非对角的，并且在一般表述中可以是奇异的。在奇异情形下，我们在诱导测度的支撑上写出高斯似然，并表明最大似然估计量（MLE）是一个涉及 Moore--Penrose 逆的约束二次优化问题。对于一般的协方差结构，我们在社区规模未知和已知时，获得了 MLE 确切恢复的充分条件。这些条件由 $\Sigma$-白化分离 $L_\Sigma(x,y)$ 以及近真值情形下的局部单步比较不等式所驱动。在 $\Sigma$ 可逆的附加假设下，我们推导了逆否命题结果，表明当一大类局部扰动具有充分非退化的高斯比较统计量时，确切恢复会失败。随后我们分析了满秩非对角分块协方差模型，证明了未知规模设定下的尖锐确切恢复阈值，并指出了一个一般的无间隙机制，在该机制下充分必要条件渐近重合。