联合社区检测与有限群同步的信息极限

联合社区检测与群同步问题——在信号处理和机器学习中具有实际应用——近年来受到广泛关注。以前的研究主要聚焦于将随机块模型（SBM）扩展引入额外群变换的统计模型。其最简单形式为网络生成模型：随机生成大小为 $n$ 的网络，包含两个等大小的社区，其中每个节点 $i$ 关联未知群元素 $g_i^* \in G_M$，其中 $G_M$ 为阶为 $M$ 的有限群。节点间连边概率为：若属同一社区则为 $p$，否则为 $q$。此外，每条边 $(i,j)$ 观测到群变换 $g_{ij} \in G_M$，其中若两节点在同一社区内则 $g_{ij} = g_i^* - g_j^*$，否则 $g_{ij} \sim \text{Uniform}(G_M)$。问题目标为恢复社区结构与群元素。在 $p = a\log n /n$ 且 $q = b\log n /n$（$a, b > 0$）的条件下，我们通过最大似然估计（MLE）建立了精确的信息论阈值：$$(i):\enspace \frac{a + b}{2} -\sqrt{\frac{ab}{M}} > 1 \quad \text{且} \quad (ii):\enspace a > 2$$ 仅当满足 $(i)$ 时才能实现社区的精确恢复，仅当满足 $(i)$ 与 $(ii)$ 时才能实现群元素的恢复。我们的理论表明，社区恢复受益于额外的群变换；同时也展示了MLE与现有方法（包括半正定规划和谱方法）之间存在显著性能差距。