二元随机块模型中的边信息：精确恢复

在社区检测问题中，人们可能拥有关于每个节点标签的额外观测（边信息）。本文研究了在具有 $n$ 个节点的二元对称随机块模型（SBM）中，边信息的质量和数量对精确恢复相变的影响。当边信息由通过交叉概率为 $\alpha$ 的二元对称信道观测到的标签组成，且 $\log(\frac{1-\alpha}{\alpha}) =O(\log(n))$ 时，研究表明边信息对相变有积极影响；刻画了该条件下的新相变。当 $\alpha$ 为常数或充分缓慢地趋近于零，即 $\log(\frac{1-\alpha}{\alpha}) = o(\log(n))$ 时，研究表明边信息对精确恢复没有帮助。当边信息由通过参数为 $\epsilon$ 的二元删除信道观测到的标签组成，且 $\log(\epsilon)=O(\log(n))$ 时，研究表明边信息能改善精确恢复，并刻画了新的相变。若 $\log(\epsilon)=o(\log(n))$，则表明边信息无帮助。随后将结果推广到有限基数的任意边信息。推导出了精确恢复的充分必要条件，除 $M$ 进制边信息下的一个特例外，这些条件都是紧的。提出了一种结合边信息影响的高效算法，该算法使用部分恢复算法结合局部改进过程。推导了该高效算法下精确恢复的充分条件。