随机块模型中的弱恢复、假设检验与互信息

随机块模型是社区随机图的标准模型。它在社会科学和统计学中作为社区模型的引入，在理论计算机科学中作为图划分问题的平均情况模型，称为 "planted partition model"。给定稀疏随机块模型，两个标准推断任务为：(i) 弱恢复：我们能否以非平凡的与真实社区重合度来估计社区？(ii) 检测/假设检验：我们能否以图大小趋于无穷时概率趋于 1 的概率，区分样本是来自块模型还是来自无社区结构的随机图？本文我们表明，对于稀疏随机块模型，这两个推断任务在一个临界点处除外是等价的。即，只有当检测是可能时，弱恢复才信息论上可能。我们因此发现这两个推断概念之间的强烈联系。我们进一步证明，当检测不可能时，基于邻接矩阵低阶多项式的显式假设检验实现了最优统计功效。该低阶检验是有效的，而似然比检验则尚不知道是否有效。此外，我们证明当检测不可能时，观察网络与社区结构之间的渐近互信息 exhibits a phase transition at the weak recovery threshold。我们的结果在更广泛的设置下得到证明，包括超图随机块模型和一般植入因子图。在这些设置下，我们证明了弱恢复不可能意味着等距性，并提供一个保证弱恢复与检测等价的条件。