凸多面体中有限元方法的弱离散极大值原理

我们证明了在凸多面体 $\varOmega$ 中拉普拉斯方程的伽辽金有限元解 $u_h$（采用域的拟一致四面体剖分且有限元多项式次数 $r\ge 1$）满足如下弱极大值原理：\begin{align*} \left\|u_{h}\right\|_{L^{\infty}(\varOmega)} \le C\left\|u_{h}\right\|_{L^{\infty}(\partial \varOmega)} , \end{align*} 其中常数 $C$ 独立于网格尺寸 $h$。利用该结果，我们证明了对于 $r\geq 2$，里茨投影算子 $R_h$ 在 $L^\infty$ 范数下关于 $h$ 一致稳定，即 \begin{align*} \|R_hu\|_{L^{\infty}(\varOmega)} \le C\|u\|_{L^{\infty}(\varOmega)} . \end{align*} 由此我们去掉了先前凸多面体区域结果中出现的一个对数因子。