二维奇异扰动四阶问题在Shishkin网格上弱Galerkin有限元方法的收敛分析

我们考虑单位正方形$\Omega \subset \mathbb{R}^2$上的奇异扰动四阶边值问题$\varepsilon ^{2}\Delta ^{2}u-\Delta u=f$，边界条件为在$\partial \Omega$上$u = \partial u / \partial n = 0$，其中$\varepsilon \in (0, 1)$为小参数。该问题通过弱Galerkin（WG）有限元方法数值求解，该方法在使用任意形状多边形有限元剖分上的间断分片多项式时，在单元构造上高度鲁棒且灵活。所得WG有限元格式对称、正定且无参数。在对解中出现的边界层结构作合理假设下，构造了含$N^2$个单元的合适Shishkin网格族，证明了方法在离散$H^2$范数下对相应WG有限元解的收敛性，并给出了数值结果。