曲线多面体中等参有限元方法的弱离散极大值原理

本文证明了在边开口小于 $\pi$ 的(可能凹的)曲线多面体域中,带 Dirichlet 边界条件的 Poisson 方程的等参有限元方法的弱极大值原理,该类域包含光滑域与凸多面体的光滑形变。证明依赖于对一个由等参有限元产生的具有不连续系数矩阵的偶椭圆问题的分析。因此,文献中弱极大值原理证明所需的标准 $H^2$ 椭圆正则性对该偶问题不成立。为克服此困难,我们将解分解为光滑部分与非光滑部分,并分别用 $H^2$ 与 $W^{1,p}$ 估计来估计这两部分。作为弱极大值原理的应用,我们证明了曲线多面体中 Poisson 方程的等参有限元方法的最大模最佳逼近性质。由于等参有限元的非协调性,证明对 Schatz 的论证作了非平凡修改,这要求我们构造一个全局光滑流映射,将曲线多面体映射到受扰动的更大区域,在该区域上可关于扰动一致地建立 Poisson 方程的 $W^{1,\infty}$ 正则性估计。