二维弯曲域上二阶椭圆方程的弱Galerkin混合有限元方法

本文研究具有弯曲边界的二维域上二阶椭圆方程的弱Galerkin混合有限元方法(WG-MFEM)。由于此时Neumann边界条件成为本质边界条件，故予以考虑。众所周知，弯曲物理域与多边形近似域之间的差异会导致多项式阶数$\alpha>1$的离散化精度损失。本文的目的有两个。首先，我们给出了原始WG-MFEM在弯曲域上求解问题的详细误差分析，其对所有$\alpha\ge 1$均呈现$O(h^{1/2})$的收敛性。即便最低阶WG-MFEM($\alpha=1$)也出现精度损失，这有点令人意外。这与有限元方法(FEM)或混合有限元方法的已知结果不同，似乎是WG-MFEM的设计以及多边形近似域上的外法向向量与弯曲域上的不同这一事实的共同作用。其次，我们提出一种补救方法，通过采用两种技术使近似阶恢复最优。其一是专门设计的边界修正技术。其二是充分利用弱Galerkin离散可定义在多边形网格上的优良特性，从而可在不增加网格单元总数的情况下用多条短边更好地逼近弯曲边界。严格分析表明，上述两种技术相结合可对所有的$\alpha$给出最优收敛性。数值结果进一步证实了该结论。