拟线性二阶椭圆方程 $P1$ 协调有限元近似的极值原理

本文推导了拟线性二阶椭圆方程 $P1$ 协调有限元近似的一些离散极值原理。这些结果是将偏微分方程理论中的经典极值原理向有限元方法的推广。数学工具基于经典 PDE 理论中常用的变分方法。通过假设离散变分形式具有全局性质的某一条件，建立了离散极值原理。特别地，当有限元剖分满足某些角度条件时，变分形式上的假设得到验证。对于一般的拟线性椭圆方程，这些角度条件表明每个三角形或四面体必须是 $\mathcal{O}(h^\alpha)$-锐角的，即每个角 $\alpha_{ij}$（对于三角形）或内部二面角 $\alpha_{ij}$（对于四面体）必须满足 $\alpha_{ij}\le \pi/2-\gamma h^\alpha$，其中 $\alpha\ge 0$ 且 $\gamma>0$。对于微分算子由拉普拉斯算子给出的泊松问题，角度要求与现有要求相同：要么所有三角形都是非钝角的，要么每条内部边都是非负的。需要指出的是，本文使用的分析工具基于在偏微分方程理论中发挥重要作用的强大的 De Giorgi 迭代法。该数学分析本身在有限元分析中具有独立意义。