弱阿贝尔直和项与伽罗瓦表示的不可约性

设 $\rho_\ell$ 是数域 $K$ 的一个几乎处处非分歧的半单 $\ell$-进表示。我们引入了一个称为 $\rho_\ell$ 的弱阿贝尔直和项的新概念，并对其进行了完全刻画，例如，当 $\rho_\ell$ 的代数单值群连通时。如果 $\rho_\ell$ 对某个数域 $E$ 还是 $E$-有理的，我们证明弱阿贝尔直和项是局部代数的（因此是 de Rham 的）。我们还证明了连通半单塞尔相容系统的弱阿贝尔部分再次形成这样一个系统。利用我们关于弱阿贝尔直和项的结果，当 $K$ 是全实域且 $\rho_\ell$ 是附加于 $\mathrm{GL}_3(\mathbb{A}_K)$ 的一个正则代数尖点自守表示 $\pi$（不一定可极化）连同同构 $\mathbb{C}\simeq \overline{\mathbb{Q}}_\ell$ 的三维 $\ell$-进表示时，我们证明 $\rho_\ell$ 是不可约的。在这种情况下，如果 $\ell$ 属于一个狄利克雷密度为1的素数集合，我们还推导出 $\rho_\ell$ 的一些 $\ell$-进霍奇理论性质。