用于肿瘤生长的粘弹性 Cahn–Hilliard 模型

我们引入了一种考虑粘弹性效应的肿瘤生长相场新模型。该模型由基本热力学原理导出，由带肿瘤细胞源项的对流 Cahn–Hilliard 方程和带边界供给的营养物质对流反应扩散方程组成。对肿瘤侵袭行为至关重要的趋化项也被考虑在内。模型由粘弹性系统补全：该系统包含描述流体动力学量的 Navier–Stokes 方程，以及关于粘弹性材料总力学响应中弹性部分所对应的左 Cauchy–Green 张量的带应力松弛的一般本构方程。针对弹性能量密度的特定选择，并加上一个描述应力扩散的耗散项，我们通过全离散有限元格式的极限过程，证明了二维空间 $d=2$ 下肿瘤生长粘弹性模型整体弱解的存在性，其中需要满足 CFL 条件即 $\Delta t\leq Ch^2$。此外，在任意维度 $d\in\{2,3\}$ 下，我们给出了全离散有限元格式的稳定性和解的存在性，其中利用 J. W. Barrett、S. Boyaval 首次引入的正则化技术（“Existence and approximation of a (regularized) Oldroyd-B model”。载于：M3AS. 21.9 (2011), pp. 1783–1837）证明了离散 Cauchy–Green 张量的正定性。此后，我们改进了任意维度 $d\in\{2,3\}$ 以及二维 $d=2$（需 CFL 条件）下的正则性结果。接着，对 $d=2$，我们在离散参数中取极限，证明离散解的子序列收敛到整体弱解。最后，我们给出了数值结果。