Veldkamp 空间：从 (Dynkin) 图到 (Pauli) 群

将 Dynkin 图视为一种特定的点-线关联结构（其中每条线恰有两个点），可将其与一个 Veldkamp 空间相关联。聚焦于 $\widetilde{D}_n$ 型扩展 Dynkin 图，$4 \leq n \leq 8$，研究表明相应的 Veldkamp 空间总包含一个射影空间 PG$(3,2)$ 的特异副本。通过对图顶点（当 $4 \leq n \leq 7$ 时）用两量子比特泡利群的特定元素恰当标号，建立了该群 15 个元素与 PG$(3,2)$ 的 15 个点之间的双射。该双射满足：位于同一直线上的三个元素之积为单位元，并且也容易挑出 PG$(3,2)$ 的辛极化空间 $W(3,2)$ 的那个特定副本，其直线对应于群中两两对易的元素三元组；在后者情形下，我们还进一步得到 Mermin-Peres 魔方的唯一副本。在 $n=8$ 的情形中，更自然的标号是使用三量子比特泡利群的元素，给出了该群 63 个元素与 PG$(5,2)$ 的 63 个点之间的双射，其中 PG$(5,2)$ 是相应 Veldkamp 空间的最大射影子空间；此处，特异的 PG$(3,2)$ 的点与三量子比特泡利群的一个两量子比特子群的元素成双射，从而给出 Mermin-Peres 平方的三量子比特版本。此外，除 $n=4$ 外，每个 Veldkamp 空间还赋予某些“例外”点。有趣的是，在 $n=8$ 情形中这样两个点定义了一个唯一的法诺平面，其继承的三量子比特标号仅以泡利矩阵 $Y$ 为特征。