低维三元 Segre 簇的 Veldkamp 空间

利用 Saniga 等人（Ann. Inst. H. Poincaré D2 (2015) 309）为二元 Segre 簇引入的“Veldkamp 爆破”方法，我们研究了 Segre 簇 $S_k(3)$ 的几何超平面与 Veldkamp 线，其中 $S_k(3)$ 表示大小为四的射影直线的 $k$ 重直积，且 $k$ 取 2 到 4。与二元情形不同，此处的 Veldkamp 空间还包含非射影元素。尽管对于 $k=2$，此类元素仅出现在 Veldkamp 线中，但对于 $k \geq 3$，它们也出现在相关 Segre 簇的 Veldkamp 点中。即使仅考虑射影几何超平面，我们也为 $S_3(3)$ 找到了四类非射影 Veldkamp 线，共计 2268 个，若还考虑非射影卵形体则另有五类。仅借助几何与组合论证，我们给出了 $S_3(3)$ 的多达 62 类射影 Veldkamp 线，其爆破产生 $S_4(3)$ 的 43 类不同射影几何超平面。由于后者数目 43 少于 Bremner 与 Stavrou（Lin. Multilin. Algebra 61 (2013) 986）所发现的三元素域上 $2 \times 2 \times 2 \times 2$ 数组的不同大轨道数 48，故有五类（已明确指出的）超平面，每类是两个不同大轨道的合并。此外，我们挑出 $S_4(3)$ 的这 22 类几何超平面，总计 7 176 640 个，它们与位于唯一双曲二次曲面 $\mathcal{Q}_0^{+}(15,3) \subset {\rm PG}(15,3) \subset \mathcal{V}(S_4(3))$ 上的点一一对应；并且其中七类与辛极化空间 $\mathcal{W}(7,3) \subset \mathcal{V}(S_3(3))$ 的 91 840 个生成元的集合双射对应。对于 $k=3$，我们还讨论了二元 Veldkamp 空间到三元空间的嵌入。