张成PG(7,2)的直线四元组
组合数学
2024-02-14 v2 代数几何
摘要
我们的起点非常简单：PG(7,2)中四条互斥直线组成的集合L₄。在稳定化子群G(L₄) < GL(8,2)的自然作用下，PG(7,2)的255个点分成四个轨道ω₁、ω₂、ω₃、ω₄，其长度分别为12、54、108、81。我们证明ω₂∪ω₄中的135个点是L₄确定的双曲二次曲面H₇的内点；并且81点集ω₄（已证明具有六次方程）是G(L₄)的正规子群G₈₁（同构于(Z₃)⁴）的轨道。G₈₁有40个子群（同构于(Z₃)³）；每个这样的子群H < G₈₁将ω₄分解为三个27点集的三元组。我们特别证明，这40个三元组中恰好有8个的组成成分是PG(7,2)中的Segre簇S₃(2)。这与最近发现相吻合：PG(7,2)中的每个Segre S = S₃(2)确定GL(8,2)中一个特殊的Z₃子群，该子群生成S的两个兄弟副本S'、S''。
引用
@article{arxiv.1202.5745,
title = {Tetrads of lines spanning PG(7,2)},
author = {Ron Shaw and Neil Gordon and Hans Havlicek},
journal= {arXiv preprint arXiv:1202.5745},
year = {2024}
}
备注
Some typos corrected