四元数射影平面的15顶点三角剖分的新例子与部分分类

Brehm 与 K"uhnel (1992) 构造了三个分别具有对称群 $\mathrm{A}_5$、$\mathrm{A}_4$ 与 $\mathrm{S}_3$ 的15顶点组合8-流形“类似于四元数射影平面”。Gorodkov (2016) 证明这三个流形实际上 PL 同胚于 $\mathbb{HP}^2$。注意,15 是一个非 PL 同胚于 $S^8$ 的组合8-流形的最小顶点数。本文中我们构造了大量 $\mathbb{HP}^2$ 的新的15顶点三角剖分。一个令人惊讶的事实是,此类例子在非常不同的对称群下被发现,包括那些与群 $\mathrm{A}_5$ 毫无关联的对称群。具体而言,我们找到了19个具有对称群 $\mathrm{C}_7$ 的三角剖分、1个具有对称群 $\mathrm{C}_6\times\mathrm{C}_2$ 的三角剖分、14个具有对称群 $\mathrm{C}_6$ 的三角剖分、26个具有对称群 $\mathrm{C}_5$ 的三角剖分、1个具有对称群 $\mathrm{A}_4$ 的新三角剖分,以及11个具有对称群 $\mathrm{S}_3$ 的新三角剖分。此外,我们得到如下分类结果。我们证明,在同构意义下,恰有75个具有15个顶点且对称群阶至少为4的 $\mathbb{HP}^2$ 三角剖分:即三个 Brehm-K"uhnel 三角剖分与上述72个新三角剖分。另一方面,我们表明存在大量具有对称群 $\mathrm{C}_3$ 与 $\mathrm{C}_2$ 以及平凡对称群的三角剖分。