三量子比特算符、二阶分裂Cayley六边形与黑洞

三量子比特的63个实广义泡利矩阵集可以分解为35个对称元素和28个反对称元素两个子集。这种分裂被证明完全体现在Fano平面的性质中；前者集合的元素与平面的7个点、7条线和21个旗标一一对应，而后者集合的元素则与平面的28个反旗标对应。这种表示自然地扩展为基于二阶分裂Cayley六边形的表示。六边形的63个点在7阶自同构作用下分裂为9个轨道，每个轨道包含7个点(算符)。六边形的63条线每条承载三个点，代表算符三元组，其中任意两个算符的乘积(符号可能不同)等于第三个。由于该六边形可以完全嵌入到GF(2)上的五维射影空间中，35个对称算符也被发现对应于该空间中Klein二次曲面上的点。28个反对称矩阵可以与Coxeter图的28个顶点相关联，Coxeter图是六边形的两个显著子图之一。详细讨论了六边形自同构群的PSL_{2}(7)子群，并发现Coxeter子几何与弦理论中E_7对称的黑洞熵公式有着复杂的联系。同时推测六边形的完整几何/对称性应在相应的黑洞解中显现。最后，简要提及了与Hopf球面纤维化情况的有趣类比以及与编码理论的联系。