利用局部门对三量子比特进行划分

众所周知，局部门比非局部门具有更小的误差。因此，若两个态相差一个局部门，则自然地使它们等价。由于相差一个局部门的两个态具有相同的纠缠熵，故纠缠熵在商空间中定义了一个函数。本文中，我们研究此等价关系在以下集合上的性质：(i) 具有实振幅的三量子比特态集合 $\mathbb{R}\hbox{Q}(3)$，(ii) 可用 Clifford 群上门制备的三量子比特态集合 $Q\mathcal{C}$，以及 (iii) $Q\mathcal{C}$ 中具有实振幅的三量子比特态集合 $Q\mathbb{R}\mathcal{C}$。我们证明集合 $Q\mathcal{C}$ 有 8460 个态，且商空间有 5 个元素。我们有 $\frac{Q\mathcal{C}}{\sim}=\{S_{0},S_{2/3,1},S_{2/3,2},S_{2/3,3},S_{1}\}$。按惯例，我们将商空间中的元素称为轨道。轨道 $S_0$ 包含所有与态 $|000\rangle$ 相差一个局部门的态。 $S_0$ 中有 1728 个态，且如预期那样，它们的纠缠熵为零。轨道 $S_{2/3,1},S_{2/3,2},S_{2/3,3}$ 中的所有态都具有纠缠熵 $2/3$，且这些轨道每一个都有 1152 个态。最后，轨道 $S_{1}$ 有 3456 个元素，其所有态的最大纠缠熵均为一。我们还研究了受控非门 $CNOT(1,2)$ 和 $CNOT(2,3)$ 在这些轨道上的作用。例如，我们证明当对 $S_0$ 中所有态施加 $CNOT(1,2)$ 时，960 个态回到同一轨道 $S_0$，768 个态进入轨道 $S_{2/3,1}$。对 $\mathbb{R}Q\mathcal{C}$ 得到类似结果。我们还证明当作用于 \frac{\hbox{\mathbb{R}Q(3)} }{\sim} 时，纠缠熵函数在多于一个点处达到其最大值 1。