Cayley-Dickson代数与有限几何

给定一个$2^N$维Cayley-Dickson代数，其中$3 \leq N \leq 6$，我们首先观察到其虚数单位$e_a$（$1 \leq a \leq 2^N -1$）的乘法表编码在射影空间$\mathrm{PG}(N-1,2)$的性质中，如果将这些虚数单位视为点，并将它们的三元组$\{e_a, e_b, e_c\}$（$1 \leq a < b < c \leq 2^N -1$且$e_ae_b = \pm e_c$）视为线。这个射影空间根据$a+b = c$或$a+b \neq c$呈现出两种不同的线。因此，它也表现出（至少）两种不同类型的点，取决于通过每个点的每种线的数量。为了解释$\mathrm{PG}(N-1,2)$的这种划分，我们采用了有限点线关联结构的Veldkamp空间概念。相应的点线关联结构被发现是一个二项式$\binom{N+1}{2}_{N-1}, \binom{N+1}{3}_{3}$-配置$\mathcal{C}_N$；特别地，$\mathcal{C}_3$（八元数）同构于Pasch $(6_2,4_3)$-配置，$\mathcal{C}_4$（十六元数）是著名的Desargues $(10_3)$-配置，$\mathcal{C}_5$（三十二元数）与著名的Pascal神秘六边形中发现的Cayley-Salmon $(15_4,20_3)$-配置一致，而$\mathcal{C}_6$（六十四元数）等同于一个特定的$(21_5,35_3)$-配置，该配置可视为从一条线透视的四个三角形，其中六对三角形的透视点构成一个Pasch配置。我们还注意到这些配置形成的显著嵌套模式，其中$\mathcal{C}_{N-1}$作为$\mathcal{C}_N$的几何超平面出现。最后，对一般$\mathcal{C}_N$结构的简要考察提出了一个猜想：$\mathcal{C}_N$同构于$G_2(N+1)$型组合Grassmannian。