Cayley-Klein Lie 双代数：非交换空间、Drinfel'd 双重与运动学应用

将 Cayley-Klein（CK）形式应用于实代数 ${so}(5)$，利用四个分次收缩参数在统一框架下描述 81 个 Lie 代数，涵盖（反）de Sitter、Poincaré、Newtonian 和 Carrollian 代数。从 ${so}(5)$ 的 Drinfel'd-Jimbo 实 Lie 双代数及其 Drinfel'd 双重结构出发，我们得到相应的 CK 双代数以及源自 Drinfel'd 双重的 CK $r$-矩阵。作为新意，我们构造了点、线、2-平面和 3-超平面的（一阶）非交换 CK 空间，并研究其结构性质。通过要求处理实结构，得出存在 63 个特定实 Lie 双代数及其四组非交换空间。此外，我们找到了 14 个源自 Drinfel'd 双重的经典 $r$-矩阵，为 de Sitter ${so}(4,1)$、anti-de Sitter ${so}(3,2)$ 及其某些收缩给出了新结果。这些几何结果被详尽地应用于（3+1）维运动学代数，不仅考虑通常的（3+1）维时空，也考虑 6 维线空间。我们建立了几何 CK 生成元与运动学生成元之间的不同对应，这些对应根据宇宙学常数/曲率 $\Lambda$ 和光速 $c$ 给出了 CK 收缩参数的物理识别。我们最终得到了四类运动学 $r$-矩阵及其非交换时空和线空间，将所有 $\kappa$-形变作为特例包含在内。