秩 2 向量分布微分不变量的变分方法
微分几何
2020-06-24 v2
摘要
在本文中,我们为 n 维流形上的泛型秩 2 向量分布构造微分不变量。在 n=5 的情形(包含函数参数的第一个情形),E. Cartan 于 1910 年利用他的“约化- prolongation”过程找到了此类分布的协变四阶张量不变量。在 Cartan 的工作之后,以下问题仍然开放:首先 Cartan 张量存在的几何原因不明;其次如何将此张量推广到其他分布类不明;最后没有计算 Cartan 张量的显式公式。我们的论文是系列论文中的第一篇,其中我们发展了一种替代方法,对上述问题给出解答。该方法基于考察秩 2 分布的所谓异常极值曲线(奇异曲线)场 dynamics,以及我们此前与 A. Agrachev 发展起来的 Lagrange Grassmann 流形中非参数化曲线的一般理论。借此我们为任意 n>4 的秩 2 向量分布构造了基本形式与射影 Ricci 曲率。对 n=5,我们给出计算这些不变量的显式方法,并在若干例子上予以演示。在我们的下一篇论文中,我们证明在 n=5 的情形我们的基本形式与 Cartan 张量一致。
引用
@article{arxiv.math/0402171,
title = {Variational Approach to Differential Invariants of Rank 2 Vector Distributions},
author = {Igor Zelenko},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0402171},
year = {2020}
}
备注
37 pages, SISSA preprint, 12/2004/M, February 2004, minor corrections of misprints