几何与广延量代数及任意流形的微分几何

我们在本文中给出四篇系列论文中的第三篇，基于任意光滑流形 M 上的几何与广延量微积分，建立 M 的任意开集 U 上多重向量与广延量场表示元的协变导数理论。这是通过引入联络广延量场 gamma 的概念来实现的，gamma 在 U 上定义平行结构，并以明确方式表示 M 上给定联络 del 在 U 上限制的作用。我们还给出 Cartan 理论中挠率与曲率场的新颖内蕴表述（即不依赖于所选正交活动标架）。我们辨识出两类 Cartan 联络算子场，二者均出现在由 Cartan 挠率与曲率广延量场所满足的内蕴 Cartan 结构中。此外，我们引入 U 上的度量广延量 g，对应于 M 上给定度量张量 \slg 在 U 上的限制，并引入 U 的几何结构 (U,gamma,g) 的概念，研究由联络广延量 gamma 诱导的协变导数的度量相容性。这使得我们能够给出规范（形变）导数的概念，其满足在微分几何与引力场几何理论中有用的显著性质。我们展示了度量与几何结构中的若干导数算子，如普通与协变 Hodge 余导数以及一些对偶恒等式。