表示取值的 Bott-Shulman-Stasheff 与 Weil 复形中的协变导数

对于 Lie groupoid $G$，其神经上的微分形式构成一个双复形。一个自然的问题是，该结论是否可以推广到取值于 $G$ 的表示 $V$ 中的形式。在本文中，我们研究了两种与单纯微分交换的协变导数，从而产生了两类以 $V$ 为系数的“弯曲”微分形式双复形。朴素的方法是考虑 $V$ 上的线性联络 $\nabla$，此时 $d^\nabla$ 与单纯微分交换当且仅当 $\nabla$ 满足某个（限制性的）不变性条件。本文的核心聚焦于另一种更具说服力的方法：对理想丛使用乘法 Ehresmann 联络。在这种情况下，我们得到了一个几何上更丰富的弯曲双复形，其上链映射由水平外协变导数 $D$ 给出，该算子推广了主丛理论中著名的算子。此外，微分算子 $d^\nabla$ 和 $D$ 均在 Lie algebroid 的无穷小设定下进行了研究，并探讨了它们与 van Est 映射的关系。最后，我们使用算子 $D$ 研究了（无穷小）乘法 Ehresmann 联络的曲率。