流形上中心分布的协方差

我们定义并研究了一类定义在完备黎曼流形上的分布族。它们是通过逆指数映射投影到固定切空间而获得的。这种构造在文献中很流行，因为它使得推广熟知的多元欧几里得分布变得容易。然而，大多数现有解使用依赖于坐标的定义，这降低了它们的通用性。我们提出了两个方向的改进。我们通过利用协变 2-张量，以与坐标无关的方式定义了感兴趣的分布。然后，我们研究了这些分布与其欧几里得对应物之间的关系。特别是，我们关注将协方差与控制分布集中度的张量联系起来。我们找到了这种关系的一般近似表达式，并在常曲率（正或负）流形的情况下给出了更精确的公式。结果通过对单位球面和双曲平面上的标准正态分布的模拟研究得到了证实。