关于张量分布乘法的新思路

在广义相对论中，需要一种一致且有用的数学理论，以几何（微分同胚不变）的方式定义张量分布的乘法。通过Colombeau代数的概念，以及在微分流形上为任意张量构造完整的Colombeau代数，已经取得了显著进展。尽管这一目标已经实现，但它未能足够清晰地融入协变导数的概念，因此用途有限。我们采取了一种不同的方法：我们认为对光滑分布（在光滑流形上）的任何偏好都是非直观的，这意味着我们的方法必须完全基于Colombeau等价关系作为理论的基本特征。采用这种方法后，我们非常自然地获得了一个规范且几何的理论，用于定义张量分布的张量运算，包括协变导数。这之所以成为可能，也是因为我们不再需要任何显式的Colombeau代数的规范几何构造。我们方法的另一个巨大优势在于，它为我们所使用的数学概念带来了物理洞察，并自然地引导出在（我们称之为）分段光滑流形上而非光滑流形上表述物理学。这为物理学的语言带来了更高的对称性（类似于从庞加莱不变性转向微分同胚不变性），并且与我们的直觉相容，即“逐点”性质在某种隐喻意义上“无关紧要”。