二维Wick序三次波方程下高斯自由场演化的唯一性与非唯一性

我们研究二维环面 $\mathbb T^2$ 上的非线性波方程(NLW)，其高斯随机初值位于 $H^s(\mathbb T^2) \times H^{s-1}(\mathbb T^2)$（$s < 0$），按Thomann与第一作者(2020)所研究的不变Gibbs测度相关联的基高斯自由场 $\mu$ 分布。特别地，我们考察对应解通过光滑（随机）解的逼近性质。本文的主要结果有两点。(i) 我们证明，定义于高斯自由场 $\mu$ 上的重整化三次NLW解映射，是由磨光得到的光滑高斯初值所定义解映射的唯一扩张，且与磨光核无关。(ii) 我们也证明存在高斯初值的一种正则化，使得对应光滑解几乎必然在自然拓扑下无极限。这第二个结果尤其说明，不能对重整化三次NLW动力学使用任意光滑逼近。作为证明(ii)的预备步骤，我们建立了 $\mathbb T^d$ 与 $\mathbb R^d$ 上（未重整）三次NLW在负Sobolev空间中对一般初值的（确定性）范数膨胀结果，推广了Christ、Colliander与Tao(2003)的范数膨胀结果。