由理想 $I \subset R$ 生成的 $R$-模 III

设 $(R, \mathfrak m)$ 为交换诺特局部环，$I$ 为 $R$ 的理想。对每个 $R$-模 $M$，定义 $\gamma_I(M) = \sum\{ \operatorname{Bi} f \,|\, f \in \operatorname{Hom}_R(I,M)\}$ 为 $I$ 在 $M$ 中的迹。易见 $\operatorname{Ext}_R^1(R/I,M) = 0$ 总蕴含 $IM = \gamma_I(M)$。若对 $R$ 的所有理想 $I$ 第二条件均成立，则称 $M$ 为卓越的。在第一部分中，我们给出了这些模的若干条件，它们对内射模是熟知的。在第二部分中，我们考察特例 $M = R$。特别地，我们证明对每个素理想 $\mathfrak{p}$，等式 $\mathfrak{p} = \gamma_{\mathfrak{p}}(R)$ 成立当且仅当 $R_{\mathfrak{p}}$ 不是离散赋值环。由 Matlis（1973）关于一维局部 CM-环的结果以及借助第一邻环 $\Lambda$，立即可得对几乎所有 $n \geq 1$ 有 $\gamma_{\mathfrak{m}^n} (R) = \Lambda^{-1}$。在第三部分中，我们考察对偶构造 $\kappa_I(M) = \bigcap \{ \operatorname{Ke} f \,|\, f\in \operatorname{Hom}_R(M,I^\circ) \}$，并通过考虑 Matlis 对偶 $M^\circ = \operatorname{Hom}_R(M, E)$ 及等式 $\gamma_I(M^\circ) = \operatorname{Ann}_{M^\circ}(\kappa_I(M))$、$\kappa_I(M^\circ) = \operatorname{Ann}_{M^\circ}(\gamma_I(M))$，将关于 $\operatorname{Tor}_1^R(M, R/I) = 0$ 与 $\kappa_I(M) = M[I]$ 的主要结果归约到第一部分。