论诺特模中的可约化指数

设 $M$ 为诺特环 $R$ 上的有限生成模，$N$ 为其子模。可约化指数 ir$_M(N)$ 定义为 $N$ 的无关不可约分解中出现的不可约子模的数量（根据 Emmy Noether 的经典结果，该数是良定义的）。本文的主要结果如下：(1) $\mathrm{ir}_M(N) = \sum_{{\frak p} \in \mathrm{Ass}_R(M/N)} \dim_{k(\frak p)} \mathrm{Soc}(M/N)_{\frak p}$；(2) 对于 $N = Q_1 \cap \cdots \cap Q_n$ 的无关准素分解，其中 $Q_i$ 是 $\frak p_i$-准素的，则当且仅当对于 $N$ 的所有嵌入关联素理想 $\frak p_i$，$Q_i$ 均为 $N$ 的 $\frak p_i$-极大嵌入分量时，有 $\mathrm{ir}_M(N) = \mathrm{ir}_M(Q_1) + \cdots + \mathrm{ir}_M(Q_n)$；(3) 对于 $R$ 的理想 $I$，存在多项式 $\mathrm{Ir}_{M,I}(n)$ 使得当 $n\gg 0$ 时 $\mathrm{Ir}_{M,I}(n)=\mathrm{ir}_M(I^nM)$。此外，$\mathrm{bight}_M(I)-1\le \deg(\mathrm{Ir}_{M,I}(n))\le \ell_M(I)-1$；(4) 若 $(R, \frak m)$ 是局部环，则 $M$ 是 Cohen-Macaulay 模，当且仅当存在整数 $l$ 和包含于 $\frak m^l$ 中的 $M$ 的参数理想 $\frak q$，使得 $\mathrm{ir}_M({\frak q}M)=\dim_k\mathrm{Soc}(H^d_{\frak m}(M))$，其中 $d=\dim M$。