单可除与单无挠 R-模

设 $(R, \mathfrak{m})$ 为具有全商环 $K$ 的交换诺特局部环。若 $R$-模 $M$ 可除且 $\neq 0$，但每个真子模 $0 \neq U \subsetneqq M$ 均不可除，则称 $M$ 为单可除模。对偶地，若 $M$ 无挠且 $\neq 0$，但对每个真子模 $0 \neq U \subsetneqq M$，商模 $M/U$ 均非无挠，则称 $M$ 为单无挠模。我们的首个结果是：$M \neq 0$ 为单无挠模当且仅当 $M$ 是 $\kappa(\mathfrak{p}) = R_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p} R_{\mathfrak{p}}$ 的子模，其中 $\mathfrak{p}$ 为 $\operatorname{Ass}(R)$ 中的极大元。单可除模的结构更为复杂，主要由 E. Matlis (1973) 在 1 维局部 CM-环上以及 A. Facchini (1989) 在任意整环上研究。我们的主要结果为：若内射包 $E(R/\mathfrak{q})$ 是单可除的（$\mathfrak{q} \in \operatorname{Spec}(R)$），则环 $R_{\mathfrak{q}}$ 是解析不可约且本质完备的。特别地对于 $\mathfrak{q} = \mathfrak{m}$，$E(R/\mathfrak{m})$ 的单可除子模恰好对应于环 $\hat{R} \otimes_R K$ 的极大理想，且 $E(R/\mathfrak{m})$ 自身为单可除模当且仅当 $\hat{R} \otimes_R K$ 是一个域。