关于由理想 $I \subset R$ 生成的 $R$-模 II

设 $(R, \mathfrak m)$ 为一个交换诺特局部环，$I$ 为 $R$ 的一个理想。令 $\mathcal{P}$ 为所有 $I$-生成的 $R$-模 $M$ 的类（即存在满同态 $I^{(\Lambda)} \twoheadrightarrow M$），令 $\mathcal{S}$ 为所有 $I^{\circ}$-余生成的 $R$-模 $N$ 的类（即存在单同态 $N \hookrightarrow (I^{\circ})^{\Lambda}$，其中 $I^{\circ} = \operatorname{Hom}_R(I,E)$）。我们给出了 $\mathcal{P}$ 和 $\mathcal{S}$ 中所有内射模与平坦模的完整描述。我们证明 $(\mathcal{S},\mathcal{P})$ 构成了 Mehdi--Prest(2015) 意义下的对偶对，且 $\mathcal{P}$ 总是在纯子模下封闭。我们确定了所有使得 $\mathcal{P}$ 在子模下封闭、$\mathcal{S}$ 在商模下封闭以及 $\mathcal{P}$（相应 $\mathcal{S}$）在群扩张下封闭的理想 $I$。在最后一节，我们考察了所有 $R$-模 $M$ 的子模 $\gamma(M) = \sum\{U \subset M \,|\, U \in \mathcal{P}\}$ 与 $\kappa(M) = \bigcap \{V \subset M \,|\, M/V \in \mathcal{S}\}$，并在特殊情形下明确了它们的显式结构。