赛马场上的两种股票期权：Black-Scholes 预测

假设某人购买了两只非常相似的股票，并好奇经过一段时间 T 后，其中一只股票对总资产的贡献程度，当然，预期其应约为总和的一半。本文在经典 Black-Scholes (BS) 模型框架内研究此问题，重点关注随机变量 w = a_T^{(1)}/(a_T^{(1)} + a_T^{(2)}) 的概率密度函数 P(w) 的演化，其中 a_T^{(1)} 和 a_T^{(2)} 是由两个完全相同的 BS 随机方程产生的两种期权（欧式或亚式）的价值。我们证明，在 BS 模型范围内，P(w) 的行为与基于常识的预期惊人地不同。对于欧式期权，P(w) 总是经历一个转变（当 T 接近某个阈值时），从单峰形式变为双峰形式，最可能的值接近 0 和 1，而令人惊讶的是，w = 1/2 是最不可能的值。这表明两个期权之间的对称性自发破缺，其中一个期权完全主导了总和。对于路径依赖的亚式期权，我们观察到相同的不正常行为，但仅在一定参数范围内。在此范围之外，P(w) 始终是一个钟形函数，在 w = 1/2 处取得最大值。