具有多项式增长不连续支付函数的分数随机波动率期权定价

我们考虑与具有多项式增长不连续性的支付函数相关的定价问题。资产价格动态在 Black-Scholes 框架内建模，其特征是由分数 Ornstein-Uhlenbeck 过程驱动的随机波动率项。为了解决上述问题，我们考虑了三种方法。第一种方法是对资产价格的初始值进行适当变换，以消除可能的不连续性。然后我们离散化 Wiener 过程和分数布朗运动，并估计相关离散化价格收敛到其真实值的速率，而后者无法通过解析方法评估。第二种方法是考虑关于分数布朗运动 (fBm) 整个轨迹的条件期望。然后我们推导出一个仅包含依赖于 fBm 轨迹的积分泛函的闭式公式来评估价格；最后我们离散化 fBm 并估计相关数值方案收敛到期权价格的速率。在这两种情况下，收敛速率相同，等于 $n^{-rH}$，其中 $n$ 是离散化点数，$H$ 是 fBm 的 Hurst 指数，$r$ 是波动率函数的 H"{o}lder 指数。第三种方法是通过 Malliavin 微积分计算依赖于 fBm 轨迹的积分泛函的密度，从而用相关概率密度表示期权价格。