扭绞拓扑对应关系与 Cartan 子代数

我们引入扭绞拓扑对应关系（twisted topological correspondences），其既概括了 Katsura 的拓扑对应关系，也概括了 Li 引入的扭绞拓扑图（twisted topological graphs）。我们证明，此类对象在同构意义下与某些主束（principal bundles）存在一一对应关系。这使得我们能够运用主束和纤维束的机器来研究拓扑对应关系。我们展示了如何将扭绞拓扑对应关系与 $C^*$-对应关系关联，并给出两种不同的特征化方法。第一种方法是存在一种由 $C^*$-对应关系关联的向量束的图谱，其过渡函数取值于单诺齐矩阵群 $U(n)$ 的某个子群中，并且在某种意义上与左作用相容。另一种特征化方法则以 $C^*$-对应关系上紧算子的 Cartan 子代数来表述。我们利用这些发现来证明了扭绞拓扑对应关系所关联的 $C^*$-对应关系的刚性结果。