拓扑对应双范畴

已知从带Haar系统的局部紧群胚 $(G,\alpha)$ 到另一带Haar系统的群胚 $(H,\beta)$ 的拓扑对应 $(X,\lambda)$ 可生成从 $\textrm{C}^*(G,\alpha)$ 到 $\textrm{C}^*(H,\beta)$ 的 $\textrm{C}^*$-对应 $\mathcal{H}(X,\lambda)$。在我们早期一篇文章描述了两个拓扑对应的复合。在本文中，我们证明当以拓扑对应作为1-箭头时，带Haar系统的第二可数局部紧Hausdorff拓扑群胚构成一个双范畴 $\mathfrak{T}$。保持测度族的拓扑对应的等变同胚是 $\mathfrak{T}$ 中的2-箭头。另一方面，众所周知 $\textrm{C}^*$-代数以 $\textrm{C}^*$-对应作为1-箭头构成双范畴 $\mathfrak{C}$。$\mathfrak{C}$ 中的2-箭头是交织表示的分立 $\textrm{C}^*$-模的西元。在本文中，我们表明拓扑对应到 $\textrm{C}^*$-对应的映射是一个双函子~$\mathfrak{T}\to\mathfrak{C}$。