三重环绕数、歧义Hopf不变量和三组分链环的积分公式

三维球面中的三组分链环由约翰·米尔诺在其 1954 年发表的本科毕业论文中按链环同伦分类。一组完整的不变量由组分间的两两环绕数 p、q 和 r，以及另一个整数 mu 的剩余类给出，mu 即标题中的“三重环绕数”，它在 p、q 和 r 的最大公约数模下是良定义的。对每个这样的链环 L，我们关联一个几何上自然的特征映射 g_L，从三维环面到二维球面，使得 L 的链环同伦变为 g_L 的同伦。从三维环面到二维球面的映射由列夫·庞特里亚金在 1941 年按同伦分类。一组完整的不变量由它们限制在二维坐标子环面上的度数 p、q 和 r，以及另一个整数 nu 的剩余类给出，nu 是一个“歧义 Hopf 不变量”，它在 p、q 和 r 的最大公约数的两倍模下是良定义的。我们证明，L 各组分的两两环绕数 p、q 和 r 等于其特征映射 g_L 限制在二维子环面上的度数，并且米尔诺 mu 不变量的两倍等于庞特里亚金 nu 不变量。当 p、q 和 r 全为零时，mu 和 nu 不变量是普通整数。在这种情况下，我们使用 J. H. C. 怀特黑德关于 Hopf 不变量的积分公式（该公式适用于从三维环面到二维球面的映射），以及三维环面上标量拉普拉斯算子基本解作为三个变量傅里叶级数的公式，为 nu 提供了一个显式积分公式，从而也为 mu 提供了显式积分公式。