链环的 SU(N) Casson-Lin 不变量

我们引入 $S^3$ 中具有多于一个分支的链环 $L$ 的 $SU(N)$ Casson-Lin 不变量。将 $L = \ell_1 \cup \cdots \cup \ell_n$ 写出，我们需要输入一个标签的 $n$ 元组 $(a_1,\ldots, a_n) \in {\mathbb Z}^n$，其中 $a_j$ 与 $\ell_j$ 相关联。$SU(N)$ Casson-Lin 不变量记为 $h_{N,a}(L)$，给出了链环群 $\pi_1(S^3 \smallsetminus L)$ 的某些射影 $SU(N)$ 表示的一个代数计数，且不变量族 $h_{N,a}$ 给出了 $SU(2)$ Casson-Lin 不变量的自然推广，后者由 X.-S. Lin 为纽结定义，并由 Harper 和 Saveliev 为双分支链环定义。我们计算了 Hopf 链环以及更一般的链状链环的不变量，并证明在标签 $(a_1, \ldots, a_n)$ 的温和条件下，当 $L$ 为分裂链环时，不变量 $h_{N,a}(L)$ 消失。