关于米尔诺三重环绕数的不确定性

在 1950 年代，米尔诺定义了一族推广环绕数的高阶不变量。即便是这些新不变量中的第一个——三重环绕数，自提出以来也获得了丰硕的研究。在 $L$ 的成对环绕数消失的情形下，该三重环绕数给出一个整数值不变量。当环绕数不消失时，该不变量仅在其最大公约数模意义下良定义。在近期工作中，Davis-Nagel-Orson-Powell 提出了一种称为总三重环绕数的单一不变量，它精炼了三重环绕数并取值于称为总米尔诺商（total Milnor quotient）的阿贝尔群中。他们给出了这样的例子：该商非平凡，尽管其中单个三重环绕数均未定义。因此，总三重环绕数比经典三重环绕数携带更多信息。本文的目标是计算该群，并证明当 $L$ 是至少六分量的链环时它是非平凡的。从而，该总三重环绕数对每一个 $(n\ge 6)$ 分量的链环都携带信息，即便经典三重环绕数往往不携带任何信息。