Gordian距离与链的Clasper手术

2000年，Habiro引入了$C_k$-等价概念，用于刻划环与链。这种几何滤波与有限类型不变量密切相关，包括Milnor不变量。不久之后，Ohyama、Taniyama和Yamada证明，$C_k$-等价（以及由此延伸的有限类型不变量）对unknotting number几乎没有什么说服力，他们展示了任何环都最多只需一次改交叉点即可化简为任意$k\in \mathbb{N}$的$C_k$-平凡。链接的情况并非如此，因为两两链接数给出了unknotting的下界，且是$C_2$-等价的不变量。我们证明了，除链接数之外，Ohyama、Taniyama和Yamada的结果也适用于链接：任何一个链接数为零的$n$组件链最多只需$n^2$次改交叉点即可化简为$C_k$-平凡链。因此，Milnor不变量仅提供关于unknotting number的有限信息。为建立下界，我们构造了一系列$n$组件链，其到$C_k$-平凡链的改交叉距离随$n$二次增长。值得注意的是，这些下界与$k\in \mathbb{N}$的选择无关。最后，我们确定了在链接数非零且无组件为$C_k$-平凡的情况下的改交叉次数。