三叶草链环的 Milnor 不变量

J.P. Levine 引入三叶草链环以研究链环 Milnor 不变量的不确定性。研究表明，对于三叶草链环，若长度至多为 $k$ 的 Milnor 数消失，则长度至多为 $2k+1$ 的 Milnor 数是良定义的；若长度 $k+1$ 的 Milnor 数留存，则长度至少为 $2k+2$ 的 Milnor 数不是良定义的。对于一个长度至多 $k$ 的 Milnor 数消失的三叶草链环 $c$，我们证明序列 $I$ 的 Milnor 数 $\mu_c(I)$ 在 $\mu_{c}(J)$ 的最大公约数范围内是良定义的，其中 $J$ 是通过移除至少 $k+1$ 个指标得到的 $I$ 的子序列。此外，若 $I$ 是一个长度为 $2k+2$ 的无重复序列，我们明确给出了 $\mu_c(I)$ 的可能取值范围。作为一个应用，我们给出了 $4$-三叶草链环的边同伦分类。