曲面上纽结的米尔诺协和不变量

三维球面 $S^3$ 中链环的米尔诺 $\bar{\mu}$-不变量在任何与边界链环协和等价的链环上为零。特别地，它们在 $S^3$ 中任意纽结上平凡。此处我们考虑加厚曲面 $\Sigma \times [0,1]$ 中的纽结，其中 $\Sigma$ 为闭定向曲面。我们通过将 $S^3$ 中链环的 Chen-Milnor 理论适配到虚纽结群的一个扩张上，构造了新的协和不变量。一个关键要素是 Bar-Natan 的 $\textit{Zh}$ 映射，它允许对该群扩张作几何解释。该群扩张本身最初由 Silver-Williams 定义。我们的扩张 $\bar{\mu}$-不变量阻碍与加厚曲面中同调平凡纽结的协和。我们用它们给出具有平凡 Rasmussen 不变量、分级亏格、仿射指标（或缠绕）多项式和广义 Alexander 多项式的非切片虚纽结新例子。此外，我们完成了所有至多五个经典交叉的虚纽结的切片状态分类，并将至多六个经典交叉、切片状态未知的虚纽结数量减至四（共 92800 个）。我们的主要应用是针对 Turaev 的曲面上长纽结协和群 $\mathscr{VC}$。Boden 与 Nagel 证明了 $S^3$ 中经典纽结的协和群 $\mathscr{C}$ 嵌入 $\mathscr{VC}$ 的中心。与经典纽结协和群相反，我们证明 $\mathscr{VC}$ 非交换；回答了 Turaev 提出的一个问题。