虚拟结的符号与合痕

我们引入了虚拟结的 Tristram-Levine 符号，并将其用于研究虚拟结合痕。该符号首先针对几乎经典结定义，即允许同论平凡表示的虚拟结。证明了该符号与 $\omega$-符号为几乎经典结的拓扑切片亏格提供了界，并将其应用于解决 Dye、Kaestern 和 Kauffman 关于经典结虚拟切片亏格的近期问题。我们提出了关于拓扑切片亏格的猜想，并对最多11个交叉点的所有经典结以及2175个12交叉点结中的2150个验证了该猜想。利用 Seifert 配对定义了有向 Alexander 多项式，并证明了当几乎经典结为切片时，它们满足 Fox-Milnor 准则。我们引入了虚拟圆盘-带曲面，并利用它们建立了几乎经典结的 Seifert 矩阵的实现定理。作为推论，我们得出任何满足 $\Delta(1)=1$ 的整系数多项式 $\Delta(t)$ 都可作为某个几乎经典结的 Alexander 多项式。在最后一节中，我们使用奇偶投影与 Turaev 的结覆盖，将 Tristram-Levine 符号扩展到所有虚拟结。关键步骤是一个说明奇偶投影保持虚拟结合痕的定理。该定理意味着符号、$\omega$-符号与 Fox-Milnor 准则可以被提升，为所有虚拟结提供切片障碍。存在76个最多6个交叉点的几乎经典结，我们使用我们的不变量确定了所有这些结的切片状态，并确定了除4个之外所有结的切片亏格。文末的表2总结了我们的发现。