关于纽结的协边阶

本文发展了一些通用的计算技巧，用于寻找拓扑协边群C中纽结的阶。目前文献中可用的技巧要么过于理论化，仅适用于少量纽结，要么仅针对特定纽结设计。本文基于Herald、Kirk和Livingston [HKL10]以及Tamulis [Tam02]的结果，给出了一系列使用扭曲Alexander多项式判断纽结在C中是否为无限阶的准则。这些定理有两个直接应用。第一个是给出由9个或更少交叉的素纽结生成的协边群C和代数协边群G的子群结构。这对纽结理论界具有实用价值，但更重要的是，它提供了代数和几何协边群中现象的有趣例子。第二个应用是找出所有不超过12个交叉的素纽结的协边阶。在撰写本文时，有325个这样的纽结被列为协边阶未知。本文计算了除其中两个之外所有纽结的阶。除了使用扭曲Alexander多项式确定纽结的协边阶外，还应用了Cochran、Orr和Teichner [COT03]的一个定理，证明当n不为0或2时，n次扭曲的unknot加倍不是切片纽结。该技术涉及分析纽结的“二阶”不变量；即纽结Seifert曲面上的一组代谢曲线的切片不变量（此处为符号差）。本文将结果推广，给出了一个一般纽结K的n次扭曲加倍成为切片纽结（即在C中阶为0）的一组准则。