离散量子群上的迹态与 $\mathbb{G}$-不变态

我们研究离散量子群 $\mathbb{G}$ 的约化 $C^*$-代数 $C_r(\widehat{\mathbb{G}})$ 上的迹态与 $\mathbb{G}$-不变态。此处，我们将其对偶紧量子群记为 $\widehat{\mathbb{G}}$。我们的主要结果是：$C_r(\widehat{\mathbb{G}})$ 上的一个态是迹态当且仅当它是 $\mathbb{G}$-不变的。这推广了单模离散量子群的已知事实，并建立在 Kalantar、Kasprzak、Skalski 和 Vergnioux 的工作之上。由此的一个推论是，我们发现 $C_r(\widehat{\mathbb{G}})$ 是核的且存在迹态当且仅当 $\mathbb{G}$ 是可顺从的。这解决了 C.-K. Ng 与 Viselter 以及 Crann 提出的一个开放问题在离散情形下的版本。作为另一推论，我们证明 $C_r(\widehat{\mathbb{G}})$ 上的迹态“集中”于 $\widehat{\mathbb{G}}_F$，其中 $\mathbb{G}_F$ 是 Furstenberg 边界的余核。此外，在给定某些假设下，我们用 $\widehat{\mathbb{G}}_F$ 是否为 Kac 型来刻画 $C_r(\widehat{\mathbb{G}})$ 上迹的存在性。我们还用 $\widehat{\mathbb{G}}_F$ 是否等于 $\widehat{\mathbb{G}}$ 的典范 Kac 商来刻画（幂等）迹的唯一性。这些结果依赖于如下我们给出证明的命题：Sołtan 的典范 Kac 商构造，无论应用于 $\widehat{\mathbb{G}}$ 的泛 CQG $C^*$-代数还是约化 CQG $C^*$-代数（当后者存在迹时），都给出 $\widehat{\mathbb{G}}$ 的极大 Kac 型闭量子子群。