群胚 $C^*$-代数上的迹态与本质自由性

设 $\mathcal{G}$ 为局部紧 Hausdorff \'etale 群胚。若一般群胚 $C^*$-代数 $C_\nu^*(\mathcal{G})$ 上的迹态 $\tau$ 满足 $\tau=\tau|_{C_0(\mathcal{G}^{(0)})} \circ E$，其中 $E:C^*_\nu(\mathcal{G}) \to C_0(\mathcal{G}^{(0)})$ 为规范条件期望，则称 $\tau$ 为规范的。在本文中，我们考虑 $C_c(\mathcal{G})$ 上所谓的不动点迹，并证明：$\mathcal{G}$ 是本质自由的，当且仅当 $C_\nu^*(\mathcal{G})$ 上的任意迹态均为规范的，且任意不动点迹均可延拓至 $C_\nu^*(\mathcal{G})$。作为应用，我们得到以下结论：1) 若约化交叉积上的每个迹态均为规范的且每个各向同性群均为可均的，则该群作用是本质自由的；2) 若群胚 $\mathcal{G}$ 是第二可数、可均且本质自由的，则约化群胚 $C^*$-代数上的每个（未必忠实的）迹态均为拟对角的。