迈向李型紧量子群的分类

这是关于李型紧量子群分类近期成果的综述，我们所称李型是指具有与紧连通李群 $G$ 相同的融合规则和表示维数的量子群。该分类基于 De Commer 与作者近期受 Woronowicz 的 Tannaka--Krein 对偶定理启发而发展的量子群作用的范畴对偶。该对偶建立了紧量子群 $H$ 在单位 C$^*$-代数上的作用与其表示范畴 Rep $H$ 上的模范畴之间的对应。这进一步精炼为辫交换的 Yetter--Drinfeld $H$-代数与从 Rep $H$ 出发的张量函子之间的对应。结合更具分析性的泊松边界理论，这给出了任意余顺从紧量子群的表示范畴上保维纤维函子以其极大 Kac 量子子群为刻画的分类，当 $q\ne1$ 时该子群即为 $G$ 的 $q$-变形的极大环面。结合先前关于范畴 Rep $G_q$ 自等价的结果，这使得我们能够对紧连通单李群 $G$ 分类至同构意义下的一大类 $G$-型量子群。对于 $G=SU(n)$ 的情形，此类穷尽了所有非 Kac 量子群。